Cara Berpikir Matematika – Kaidah Pencacahan dan Peluang (part 3): Aturan Perkalian dan Aturan Penjumlahan

Cek part 1 dan part 2 jika Anda baru bergabung dengan seri artikel ini.

Aturan perkalian. Aturan penjumlahan.

Dua kaidah sederhana ini dapat menghitung banyaknya cara, namun sayangnya sering tidak dirawat dengan benar. Banyak orang menggunakan kaidah-kaidah ini pada waktu dan soal yang tidak tepat, karena belum tahu cara membedakan kapan aturan perkalian digunakan dan kapan aturan penjumlahan digunakan. Parahnya lagi, beberapa buku yang mengklaim mengajarkan “trik cepat” justru malah salah menjelaskan kapan mereka digunakan.

Di artikel ini, kita akan mengenali kapan aturan perkalian dan aturan penjumlahan digunakan serta bagaimana menggunakannya.

Apa itu aturan perkalian dan aturan penjumlahan?

Definisi formalnya lumayan membosankan kalau dibacakan di depan siswa atau penonton.

Aturan perkalian: Jika ada a_1 cara melakukan kegiatan 1, a_2 cara melakukan kegiatan 2, … , dan a_n cara melakukan kegiatan n, serta semua kegiatan tersebut independen, maka ada a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n cara untuk melakukan seluruh kegiatan tersebut.

Aturan penjumlahan: Jika ada a_1 cara melakukan kegiatan 1, a_2 cara melakukan kegiatan 2, … , dan a_n cara melakukan kegiatan n, serta semua kegiatan tersebut saling lepas (tidak mungkin ada dua atau lebih dari kegiatan tersebut dilakukan), maka ada a_1 + a_2 + \cdots + a_n cara untuk melakukan tepat satu kegiatan tersebut.

Definisi formal tak jarang terlihat membosankan, karena harus presisi. Misalnya saja, anak TK sekalipun bisa membedakan mana mobil dan mana yang bukan mobil, namun coba definisikan mobil.

Kendaraan beroda empat? Bagaimana dengan sepeda anak-anak yang dipasangi dua roda latihan? Mereka juga beroda empat.
Kendaraan beroda empat bermesin? Bagaimana dengan ATV? Mereka juga beroda empat dan bermesin.
Kendaraan beroda empat bermesin dengan setir? Bagaimana kalau saya mengendarai ATV sambil membawa setir?

Seperti yang kita lihat, hal sesimpel “mobil” bisa memiliki definisi yang ribet (silakan cek UU nomor 22 tahun 2009 beserta penjelasannya bagi yang penasaran mengenai definisi mobil).

Untuk aturan perkalian dan aturan penjumlahan, kira-kira definisinya bisa dimaknai dengan bahasa yang lebih sederhana. Perlu dicatat, ini makna, bukan definisi.

Aturan perkalian: Jika ada beberapa kegiatan yang independen dan semuanya harus dilakukan, maka kalikan banyak cara melakukan masing-masing kegiatan.

Aturan penjumlahan: Jika ada beberapa kegiatan yang saling lepas dan salah satunya harus dilakukan, maka jumlahkan banyak cara melakukan masing-masing kegiatan.

Namun, permasalahan yang sering dijumpai ketika berhadapan dengan soal bukanlah definisi atau makna aturan perkalian dan aturan penjumlahan, melainkan kapan menggunakan aturan perkalian dan kapan menggunakan aturan penjumlahan.

Kapan menggunakan aturan perkalian? Kapan menggunakan aturan penjumlahan?

Pada umumnya, aturan perkalian dipakai jika:

  • Ada satu kegiatan yang terdiri dari beberapa tahap, atau
  • Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus dilakukan

Pada umumnya, aturan penjumlahan dipakai jika:

  • Ada beberapa kegiatan berbeda, namun hanya satu yang dilakukan, atau
  • Kita sedang membagi kasus (walaupun ketika membagi kasus, aturan penjumlahan biasanya dipakai beriringan dengan kaidah atau rumus lain)

Tapi kak, katanya kalau aturan perkalian pakai kata “dan”, sedangkan aturan penjumlahan pakai kata “atau”. Itu benar nggak?

Itu terlalu menggeneralisasi, namun sayangnya banyak beredar di buku teks atau di internet. Ada beberapa kasus yang melenceng dari aturan itu, misalnya sebagai berikut:

Soal: Anda memiliki satu pasang sepatu DAN satu pasang sandal. Ada berapa cara bagi Anda untuk menggunakan alas kaki agar dapat berjalan ke pangkalan ojek?

Jawab: Kita daftar semua kemungkinan. Maka ada dua kemungkinan, yakni (1) memakai sepatu, dan (2) memakai sandal.

Melihat kembali: Di soal digunakan kata hubung “dan”, namun kita menggunakan aturan penjumlahan (1 + 1) dan bukan aturan perkalian (1 x 1). Mengapa?

Bagi pengguna aturan kata penghubung, ada kabar buruk dan ada kabar baik. Kabar buruknya, aturan tadi mudah diakali pembuat soal, seperti contoh soal di atas. Kabar baiknya, kita bisa memperbaiki aturan tadi.

Metode yang lebih baik untuk membedakan aturan perkalian vs aturan penjumlahan

Baca soal baik-baik, lalu jawab tiga pertanyaan kunci berikut:

  1. Siapa tokoh utama di soal itu?
  2. Apa yang ingin dilakukan oleh tokoh utama?
  3. Bagaimana cara ia melakukannya?

Periksa jawaban pertanyaan nomor 3 baik-baik, terutama kata penghubungnya. Jadi, yang dicek bukan kata penghubung pada soal, melainkan kata penghubung pada jawaban pertanyaan nomor 3.

  • Untuk kata penghubung biasa (dan, serta, juga, dst) dan kata penghubung mengurutkan (lalu, kemudian, selanjutnya, dst), gunakan aturan perkalian
  • Untuk kata penghubung memilih (atau, ataupun, maupun, dst), gunakan aturan penjumlahan

Kak, saya nggak ngerti materi kata penghubung…

Errr… silakan konsultasi dengan guru Bahasa Indonesia.

Dalam contoh-contoh berikutnya, kita akan tunjukkan kekuatan metode di atas dalam membedakan aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

Soal 1: Suatu gedung mempunyai 5 pintu masuk. Jika tiga orang hendak memasuki gedung tersebut, maka banyaknya cara mereka masuk dari pintu yang berlainan adalah ….
A. 60
B. 50
C. 30
D. 20
E. 10

Sumber soal: SPMB 2007, matematika dasar

Jawab:

Siapa tokoh utama pada soal ini?

Tiga orang yang namanya tidak disebutkan di soal. Sebut saja mereka A, B, dan C.

Apa yang ingin mereka lakukan?

Memasuki gedung tersebut dari pintu yang berlainan.

Bagaimana cara mereka masuk dari pintu yang berlainan?

Ya udah sih, masuk aja dari pintu yang beda-beda, gitu aja kok repot? Tidak semudah itu, Ferguso.

Untuk berhasil menjawab pertanyaan ini, jawaban kita harus berbentuk langkah yang konkret dan spesifik sehingga bisa dijalankan oleh sesuatu yang tidak bisa berpikir, seperti komputer. Ahli matematika dan informatika biasa menyebutnya algoritma, namun tidak usah takut dengan istilah itu. Intinya konkret, spesifik, dan bisa dijalankan tanpa perlu berpikir.

Prosedur “Ya udah sih, masuk aja dari pintu yang beda-beda, gitu aja kok repot?” yang tadinya sepintas terlihat simpel akan menjadi ribet jika ada dua atau lebih orang yang tanpa direncanakan berusaha memasuki pintu yang sama karena tidak tahu pilihan pintu orang lain. Misal A dan B tanpa direncanakan berusaha memasuki pintu yang sama. Pertanyaannya, apa keduanya harus memilih pintu lain? Bagaimana kalau tanpa direncanakan, mereka memilih pintu yang sama lagi? Kalau salah satunya harus mengalah dan memilih pintu lain, siapa yang harus mengalah? Kalau orang yang mengalah ini tanpa direncanakan memilih pintu yang hendak C masuki, berarti harus ada lagi yang mengalah dong?

Terus aku kudu piye, mas? (Lalu aku harus bagaimana, mas?)

Untuk contoh ini, prosedur yang akan digunakan harus bisa memastikan setiap orang tidak akan berusaha memasuki pintu yang hendak dimasuki orang lain. Caranya, kita harus catat pilihan masing-masing orang. Berikut adalah prosedur yang lebih baik ketimbang “Ya udah sih, masuk aja dari pintu yang beda-beda, gitu aja kok repot?”:

  1. Kita bebaskan A untuk memilih pintu mana yang hendak ia gunakan untuk masuk. Catat pilihan si A. Selanjutnya,
  2. Kita minta B memilih pintu mana yang hendak ia gunakan untuk masuk, namun ingatkan ia untuk tidak menggunakan pintu yang dipilih si A (baca catatan yang tadi dibuat jika perlu). Catat pilihan si B. Lalu,
  3. Kita minta C memilih pintu mana yang hendak ia gunakan untuk masuk, namun ingatkan ia untuk tidak menggunakan pintu yang dipilih si A maupun si B (baca catatan yang tadi dibuat jika perlu).

Jadi, kak, kita pakai aturan yang mana?

Periksa kata penghubung yang digunakan untuk menjawab pertanyaan kunci nomor 3. Di sana, digunakan kata selanjutnya dan lalu. Karena yang digunakan hanya kata penghubung urutan, kita gunakan aturan perkalian. Maka banyaknya cara akan sama dengan

  1. banyak cara A untuk memilih pintu mana yang hendak ia gunakan untuk masuk, dikali
  2. banyak cara B memilih pintu mana yang hendak ia gunakan untuk masuk, tanpa menggunakan pintu yang dipilih si A, dikali
  3. banyak cara C memilih pintu mana yang hendak ia gunakan untuk masuk, tanpa menggunakan pintu yang dipilih si A maupun si B.

Langkah pertama dapat dilakukan dalam 5 cara, karena gedung tersebut punya 5 pintu masuk dan semuanya boleh dipilih oleh si A.

Untuk langkah kedua, dari 5 pintu yang ada, 1 di antaranya sudah dipilih oleh si A. Maka si B hanya punya 4 pilihan pintu, yang berarti langkah kedua dapat dilakukan dalam 4 cara.

Untuk langkah ketiga, dari 5 pintu yang ada, 1 di antaranya sudah dipilih oleh si A dan 1 pintu lagi sudah dipilih oleh si B. Maka si C masih punya 3 pilihan pintu yang tersisa. Ini berarti, langkah ketiga dapat dilakukan dalam 3 cara.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak cara mereka masuk dari pintu yang berlainan adalah 5 \times 4 \times 3 = 60. Maka jawabannya adalah A.

Kak, kok panjang banget jawabannya? Guru aku bilangnya langsung aja 5 kali 4 kali 3…

Kenapa 5? Kenapa 4? Kenapa 3? Kenapa dikali? Kok kepikiran 5 kali 4 kali 3? Pertanyaan-pertanyaan itu yang dijawab di pembahasan ini, dengan harapan Anda bisa menjawab soal ujian tanpa bantuan orang lain. Cara-cara satu baris memang pendek, namun tidak menjelaskan asal datangnya ide yang digunakan. Cara seperti itu kurang efektif ketika kita masih dalam tahap belajar memahami materi ini; cara seperti itu lebih cocok digunakan setelah betul-betul memahami konsep dasarnya. Pada akhirnya, Andalah yang harus bisa memikirkan sendiri cara menjawab soal.

Kak, kok soalnya gampang banget? Kakak ga bisa soal yang susah ya?

Soal yang lebih susah baru akan dikeluarkan ketika kita sudah mulai membahas konsep yang lebih lanjut (bahasa Jaksel: advanced). Karena konsep yang sudah dibahas baru sedikit, kita belum bisa memberi contoh-contoh yang liar.

Kak, kok SPMB 2007 gampang banget ya? Merasa nyesel ga lahir lebih awal, kayaknya lebih gampang tembus PTN deh kalau ikutnya tahun segitu….

Kalau soalnya lebih gampang, maka nilai Anda dan juga nilai saingan Anda akan lebih tinggi. Karena nilai peserta lebih tinggi, maka passing grade jurusan pilihan Anda pun kemungkinan lebih tinggi pula. Nilai Anda naik namun passing grade naik, ujung-ujungnya sama saja.

Untuk sekarang, kita lanjut ke soal berikutnya.

Soal 2: Raja Salman memiliki 200 mobil, 50 pesawat pribadi, dan 25 yacht. Tentukan banyak cara bagi Raja Salman untuk bepergian ke luar negeri.

Jawab:

Siapa tokoh utama pada soal ini?

Raja Salman.

Apa yang ingin beliau lakukan?

Bepergian ke luar negeri.

Bagaimana cara beliau bepergian ke luar negeri?

Paduka Raja bisa bepergian dengan menyetir mobil, memiloti pesawat pribadi, atau menakhodai yacht.

Kok “atau”? Di soal ditulis “dan”…

Apakah Raja Salman bisa menyetir mobil, memiloti pesawat, dan menakhodai yacht pada saat bersamaan?

Karena kita menggunakan konjungsi pemilihan, gunakan aturan penjumlahan. Mengingat ada 200 mobil, 50 pesawat pribadi, dan 25 yacht yang beliau bisa gunakan, banyak cara beliau bepergian adalah 200 + 50 + 25 = 275 cara.

Soal 3: Kota K dan kota L dihubungkan oleh beberapa jalan melalui kota P, Q, dan R seperti pada gambar berikut:

UN 2018 peluang

Jika seseorang berangkat dari kota K menuju kota L, banyak alternatif jalan yang dapat dipilih adalah ….

Sumber soal: UN matematika SMA IPA 2018

Jawab:

Siapa tokoh utama pada soal ini?

Seseorang yang tidak kita ketahui namanya, sebut saja Rangga.

Apa yang ingin dia lakukan?

Berangkat dari kota K menuju kota L

Bagaimana cara dia berangkat dari kota K menuju kota L?

Tahapan perjalanannya kira-kira sebagai berikut:

  1. Pertama-tama, Rangga berangkat dari kota K menuju kota P.
  2. Setelah itu, Rangga menemui jalan bercabang. Ada dua pilihan, ia bisa…
    1. Melanjutkan perjalanan dari kota P ke kota Q, kemudian dari kota Q ke kota L, atau
    2. Melanjutkan perjalanan dari kota P ke kota R, kemudian dari kota R ke kota L.

Kak, itu gimana? Ada “kemudian” tapi ada “atau”? Berarti pakai dua-duanya dong, aturan perkalian dan aturan penjumlahan?

Tepat sekali. Penggunaannya kita sesuaikan dengan tahapan prosesnya.

  1. Untuk berangkat dari kota K menuju kota P, ada 4 alternatif jalan yang dapat diambil.
  2. Karena langkah kedua ini bercabang dua dihubungkan oleh kata “atau”, kita hitung banyak cara di masing-masing cabang, setelah itu kita jumlahkan.
    1. Untuk melakukan perjalanan dari kota P ke kota Q hanya ada 1 alternatif jalan, kemudian dari kota Q ke kota L ada 3 alternatif jalan. Karena kita menggunakan konjungsi urutan, gunakan aturan perkalian: banyak alternatif jalan dari kota P ke kota L melalui Q adalah 1 \times 3 = 3 alternatif.
    2. Untuk melakukan perjalanan dari kota P ke kota R ada 2 alternatif jalan, kemudian dari kota R ke kota L ada 2 alternatif jalan. Karena kita menggunakan konjungsi urutan, gunakan aturan perkalian: banyak alternatif jalan dari kota P ke kota L melalui R adalah 2 \times 2 = 4 alternatif

Ini berarti:

  1. Untuk berangkat dari kota K menuju kota P, ada 4 alternatif jalan yang dapat diambil.
  2. Setelah itu, Rangga melanjutkan perjalanannya dari kota P ke kota L. Ia bisa melalui kota Q terlebih dahulu (3 alternatif jalan), atau melalui kota R terlebih dahulu (4 alternatif jalan). Maka Rangga punya 3 + 4 = 7 alternatif jalan.

Agar Rangga dapat mencapai kota L, pertama-tama ia berangkat dari kota K menuju kota P (4 alternatif jalan), setelah itu melanjutkan perjalanan dari kota P ke kota L (7 alternatif jalan). Karena kita menggunakan konjungsi urutan, gunakan aturan perkalian: Ini berarti Rangga memiliki 4 \times 7 = 28 alternatif jalan dari kota K ke kota L.

Soal 4: Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, … , 9 akan dibuat bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan yang kurang dari 460 adalah ….

Remark: Soal menyusun angka seperti ini, saking seringnya muncul, akan kita bahas dalam satu artikel khusus. Tunggu tanggal mainnya.

Jawab:

Siapa tokoh utama pada soal ini?

Tidak disebutkan karena soal ini menggunakan kalimat pasif. Sebut saja tokoh utamanya Fulan.

Apa yang ingin dia lakukan?

Membuat bilangan yang terdiri dari tiga angka serta nilainya kurang dari 460.

Bagaimana cara dia membuat bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda yang nilainya kurang dari 460?

Fulan harus memilih:

  1. Angka pertama/ratusan. Agar bilangannya kurang dari 460, angka pertama yang bisa dipilih Fulan hanya 1, 2, 3, dan 4. Fulan memiliki 4 pilihan.
  2. Lalu, Fulan memilih angka kedua/puluhan. Jika angka pertama yang dipilih Fulan adalah 1, 2, atau 3, maka berapa pun angka kedua yang dipilih Fulan tidak menjadi masalah asalkan tidak sama dengan angka pertama. Dari sepuluh pilihan angka (0 sampai 9), ada satu yang tidak boleh dipakai (angka pertama). Fulan akan memiliki 9 pilihan. Namun jika angka pertama yang dipilih Fulan adalah 4, maka agar bilangan yang dibuat kurang dari 460, angka kedua yang dipilih Fulan harus kurang dari 6 dan tidak sama dengan angka pertama. Perlu dicatat bahwa 460 tidak kurang dari 460. Dari enam pilihan angka (0 sampai 5), ada satu yang tidak boleh dipakai (angka pertama, dalam hal ini 4). Fulan akan memiliki 5 pilihan.
  3. Setelah itu, Fulan memilih angka ketiga/satuan. Kali ini, Fulan tidak perlu khawatir lagi dengan syarat bahwa bilangan yang ia buat harus lebih kecil dari 460, karena sudah dijamin oleh digit pertama dan digit kedua yang ia pilih. Satu-satunya syarat yang harus ia perhatikan adalah bahwa angka ketiga harus berbeda dari kedua angka sebelumnya. Dari sepuluh pilihan angka (0 sampai 9), ada dua yang tidak boleh dipakai (angka pertama dan angka kedua). Fulan akan memiliki 8 pilihan.

Karena dari poin 1 ke poin 2 serta dari poin 2 ke poin 3 dihubungkan oleh konjungsi urutan, semestinya digunakan aturan perkalian, dan ada tiga bilangan yang kita kalikan. Akan tetapi, banyak pilihan untuk angka kedua bisa 9 atau 5, bergantung pada pilihan angka pertama, apakah 4 atau bukan 4. Ketika banyak pilihan cara pada suatu tahapan proses bergantung pada hasil tahapan lain, bagi kasus 🙂

Karena banyak pilihan angka kedua bergantung pada apakah angka pertamanya 4 atau bukan, kita bagi kasus berdasarkan angka pertamanya, apakah ia 4 atau bukan. Plus, karena kita sedang membagi kasus, gunakan aturan penjumlahan setelah menghitung banyak cara masing-masing kasus.

  • Kasus 1: Jika angka pertamanya 4, maka:
    • Hanya ada 1 pilihan untuk angka pertama (harus 4, karena syarat kasus; selain 4, dibahas di kasus kedua)
    • Ada 5 pilihan untuk angka kedua (0 sampai 5, kecuali 4)
    • Ada 8 pilihan untuk angka ketiga (0 sampai 9, kecuali angka pertama dan angka kedua)
  • Kasus 2: Jika angka pertamanya bukan 4, maka:
    • Ada 3 pilihan untuk angka pertama (1, 2, atau 3)
    • Ada 9 pilihan untuk angka kedua (0 sampai 9, kecuali angka pertama)
    • Ada 8 pilihan untuk angka ketiga (0 sampai 9, kecuali angka pertama dan angka kedua)

Ini berarti:

  • Kasus 1: Jika angka pertamanya 4, maka ada 1 \times 5 \times 8 = 40 bilangan yang dapat dibuat
  • Kasus 2: Jika angka pertamanya bukan 4, maka ada 3 \times 9 \times 8 = 216 bilangan yang dapat dibuat

Sekali lagi, karena kita sedang membagi kasus, gunakan aturan penjumlahan. Maka banyak bilangan yang dapat dibuat ada 40 + 216 = 256 bilangan.

Jangan merasa puas hanya dengan artikel ini. Ambil buku Anda, cari latihan soal yang ada, dan lahap sebisanya. Jangan takut jika hanya sedikit soal yang bisa Anda selesaikan.

Demikian part 3 dari Cara Berpikir Matematika – Kaidah Pencacahan dan Peluang. Part 4 akan membahas dua aturan yang penting namun kadang tidak dibahas di buku-buku teks matematika sekolah di Indonesia: aturan pengurangan dan aturan pembagian.

3 thoughts on “Cara Berpikir Matematika – Kaidah Pencacahan dan Peluang (part 3): Aturan Perkalian dan Aturan Penjumlahan

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s