Cara Berpikir Matematika – Kaidah Pencacahan dan Peluang (part 4): Aturan Pengurangan dan Aturan Pembagian

Eh, kak, ada ya memangnya, aturan pengurangan dan aturan pembagian? Kok di buku saya nggak ada?

Ada kok, dan sekaranglah waktunya kita membahas dua aturan yang berguna namun banyak guru dan buku sekolah tidak memberitahukannya pada Anda.

Jangan lupa, periksa part 1 sampai 3 dari seri ini.

Part 1 membahas kebiasaan yang perlu Anda terapkan dalam belajar kaidah pencacahan dan peluang.
Part 2 membahas cara mendaftar semua kejadian satu per satu. Beberapa orang masih sering tanpa sengaja menulis kemungkinan yang sama dua kali atau lupa menuliskan beberapa kemungkinan, pastikan Anda bukan orangnya.
Part 3 membahas aturan perkalian dan aturan penjumlahan, dua kaidah dasar yang beberapa orang sering tertukar.

Aturan pengurangan

Aturan ini dipakai jika terjadi salah satu dari dua hal berikut:

  1. Ada objek/susunan/komposisi/dll yang terhitung padahal seharusnya tidak dihitung, ibarat penumpang kereta api yang tidak memiliki tiket.

    Misalnya, saat kita menghitung banyak bilangan yang habis dibagi 3 namun tidak habis dibagi 5, namun kita hanya menghitung bilangan yang habis dibagi 3. Maka ada beberapa bilangan yang habis dibagi 3 maupun 5 yang tanpa sengaja terhitung di luar keinginan kita.

  2. Ada objek/susunan/komposisi/dll yang terhitung lebih dari satu kali.

    Misalnya, Jono hendak memberi santunan satu juta rupiah untuk setiap anak yatim atau putus sekolah di Makassar, lalu Jono hendak menghitung banyaknya penerima santunan. Sepintas kata “atau” menunjukkan bahwa kita cukup menjumlahkan banyak anak yatim dengan banyak anak putus sekolah, namun di luar sana ada anak-anak yang yatim dan putus sekolah. Anak-anak seperti ini terhitung dua kali, padahal Jono sedang menghitung banyak penerima santunan dan walaupun Fulanah boleh jadi yatim piatu dan putus sekolah, ia tetap hanya satu orang.

Dalam kejadian-kejadian di atas, banyaknya objek yang terhitung lebih dari sekali atau terhitung tanpa izin harus dikurangkan dari perhitungan sementara.

Kak, ngapain ngitung makhluk-makhluk tanpa izin itu, gimana kalau dari awal mereka ga usah kita hitung? Ngapain ngitung makhluk tertentu lebih dari sekali, gimana kalau dari awal kita ga biarin mereka dihitung lebih dari sekali?

Karena menghitung dengan cara normal terkadang lebih merepotkan ketimbang membiarkan beberapa makhluk tanpa izin terhitung atau makhluk tertentu terhitung lebih dari sekali. Kita akan beri beberapa contoh.

Soal: Tentukan banyaknya bilangan empat angka yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 jika bilangan tersebut boleh mengandung angka yang sama, namun angka 6 harus digunakan minimal satu kali.

Jawab:

Siapa tokoh utama pada soal ini?

Tidak disebutkan di soal, karena tidak terlalu penting. Namun jika Anda ingin menamai tokoh utamanya, sebut saja Bunga.

Apa yang ingin ia lakukan?

Menyusun bilangan tiga angka dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dengan ketentuan bilangan tersebut boleh mengandung angka yang sama, namun angka 6 harus digunakan minimal satu kali.

Bagaimana cara ia melakukannya?

Normalnya, Bunga akan memilih angka pertama, lalu angka kedua, lalu angka ketiga. Namun ini saja tidak cukup – Bunga harus bisa menjamin setidaknya salah satu dari ketiga angka yang ia pilih adalah 6. Ada beberapa prosedur yang bisa digunakan, salah satunya:

  1. Pilih angka pertama, terserah Bunga, lalu
  2. Pilih angka kedua, Jika angka pertama 6, maka ia bisa bebas memilih angka kedua tanpa khawatir. Setelah itu,
  3. Pilih angka ketiga. Jika angka pertama atau angka kedua 6, maka ia bisa bebas memilih angka ketiga tanpa khawatir. Kemudian,
  4. Pilih angka keempat. Jika 6 sudah dipilih sebagai angka pertama, angka kedua, dan/atau angka ketiga, maka ia bisa bebas memilih angka keempat. Jika 6 belum dipilih sebagai angka pertama, angka kedua, maupun angka ketiga, maka ia harus memilih 6 sebagai angka keempat.

Kita bisa saja hanya menggunakan aturan perkalian dan aturan penjumlahan untuk menghitung banyaknya bilangan yang dapat dibentuk. Namun bagi sebagian orang, bisa jadi ini merepotkan, karena kita harus mempertimbangkan empat kasus:

  1. Angka pertama 6;
  2. Angka pertama bukan 6 namun angka kedua 6;
  3. Angka pertama maupun angka kedua bukan 6, namun angka ketiga 6; dan
  4. Angka pertama, angka kedua, maupun angka ketiga bukan 6.

Nah, kak, saya termasuk orang yang seperti itu, ga mau repot bagi empat kasus…

Di sinilah aturan pengurangan menjadi lebih simpel ketimbang cara konvensional. Namun sebelum itu, apa makna dari perintah “angka 6 harus digunakan minimal satu kali”, dan apa lawan dari perintah itu? Apa artinya “minimal satu kali”?

Jika Anda tahu arti kata “minimal”, Anda akan bisa menyimpulkan bahwa “minimal satu kali” berarti “satu kali atau lebih”: bisa satu kali, dua kali, tiga kali, empat kali, lima kali, dst. untuk soal ini, karena bilangannya hanya terdiri dari empat angka, tidak mungkin angka 6 muncul lima kali apalagi lebih dari itu. Ini berarti, angka 6 dapat mincul satu, dua, tiga, atau empat kali.

Maka lawan dari “angka 6 harus digunakan minimal satu kali” adalah angka 6 muncul sebanyak 0 kali, alias “angka 6 tidak digunakan sama sekali”. Ini berarti jika kita menghitung semua bilangan empat angka yang dapat dihitung dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dengan ketentuan bilangan tersebut boleh mengandung angka yang sama, maka kita akan menghitung bilangan yang menggunakan angka 6 minimal satu kali (ini yang ingin kita hitung) dan bilangan yang tidak menggunakan angka 6 sama sekali (ini semestinya tidak ikut dihitung).

Dengan demikian, untuk menghitung banyak bilangan yang menggunakan angka 6 minimal satu kali, kita hitung banyak semua bilangan empat angka yang dapat dibuat, LALU menguranginya dengan banyak bilangan empat angka yang dapat dibentuk tanpa menggunakan angka 6.

Untuk membentuk bilangan empat angka menggunakan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dengan ketentuan bilangan tersebut boleh mengandung angka yang sama, prosedur yang dilakukan Bunga adalah:

  1. Pilih angka pertama, terserah. Ada 6 cara (1, 2, 3, 4, 5, 6).
  2. Pilih angka kedua, terserah. Ada 6 cara.
  3. Pilih angka ketiga, terserah. Ada 6 cara.
  4. Pilih angka keempat, terserah. Ada 6 cara.

Maka banyak bilangan yang dibentuk, tanpa syarat, adalah 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1296.

Selanjutnya, kita hitung banyak bilangan yang dapat dibentuk menggunakan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dengan ketentuan bilangan tersebut boleh mengandung angka yang sama, namun angka 6 tidak boleh digunakan. Kali ini, prosedur yang dilakukan Bunga adalah:

  1. Pilih angka pertama, selain 6. Ada 5 cara (1, 2, 3, 4, 5).
  2. Pilih angka kedua, selain 6. Ada 5 cara.
  3. Pilih angka ketiga, selain 6. Ada 5 cara.
  4. Pilih angka keempat, selain 6. Ada 5 cara.

Maka banyak bilangan yang dibentuk, tanpa menggunakan angka 6, adalah 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625.

Dengan aturan pengurangan, diperoleh bahwa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika angka 6 digunakan minimal satu kali adalah 1296 - 625 = 671.

Kita akan move on ke contoh berikutnya.

Soal: Tentukan banyaknya bilangan bulat positif dari 1 sampai 2019 (termasuk 1 dan 2019) yang habis dibagi 3 namun tidak habis dibagi 7.

Jawab:

Jika Anda sudah membaca artikel ini dari awal, maka Anda akan mendapat spoiler mengenai cara mengerjakannya: hitung dulu banyak bilangan bulat positif dari 1 sampai 2019 yang habis dibagi 3 (dan tanpa kita inginkan, kita ikut menghitung bilangan yang habis dibagi 3 dan 7), lalu kurangi dengan banyak bilangan bulat positif dari 1 sampai 2019 yang habis dibagi 3 dan 7.

Nah, kak, cara ngitung banyak bilangan yang habis dibagi 3 gimana?

Jangan gunakan cara isi kotak seperti yang biasa dilakukan untuk mencari banyak bilangan yang habis dibagi 5, atau banyak bilangan yang habis dibagi 2. Cara terbaik adalah mendaftar kemungkinannya satu demi satu.

Serius kak? Banyak banget ._.

Jangan panik. Kita daftar semua kelipatan 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … . Tapi sampai kapan? Untuk menjawab pertanyaan itu, coba bagi 2019 dengan 3. Dengan menggunakan kalkulator, atau pembagian cara anak SD, diperoleh 2019 \div 3 = 673. Maka semua bilangan kelipatan 3 dari 1 sampai 2019 adalah 3=3 \times 1, 6=3 \times 2, 9=3 \times 3, \cdots , 2019=3 \times 673. Maka dengan melihat pengalinya, dapat disimpulkan bahwa ada 673 bilangan bulat positif dari 1 sampai 2019 yang habis dibagi 3. Jadi nggak usah ditulis satu-satu, keburu waktunya habis.

Namun kita harus kurangi hasil tadi dengan banyak tamu tak diundang: bilangan bulat positif dari 1 sampai 2019 yang habis dibagi 3 dan 7. Karena KPK (kelipatan persekutuan terkecil, bukan Komisi Pemberantasan Korupsi) dari 3 dan 7 adalah 21, ini berarti setiap bilangan yang habis dibagi 3 dan 7 pasti habis dibagi 21. Maka kita perlu menghitung banyak bilangan bulat positif dari 1 sampai 2019 yang habis dibagi 21: 21, 42, 63, 84, dan seterusnya, tapi sampai berapa?

Kak, 2019 ga bisa dibagi 21. Kata kalkulator, hasilnya 96,1428571…

Lihat bahwa 21 \times 96 = 2016, namun 21 \times 97 = 2037. Maka semua kelipatan 21 dari 1 sampai 2019 adalah 21 = 21 \cdot 1, 42 = 21 \cdot 2, 63 = 21 \cdot 3, \cdots , 2016 = 21 \cdot 96. Maka dengan melihat pengalinya, dapat disimpulkan bahwa ada 96 bilangan bulat positif dari 1 sampai 2019 yang habis dibagi 21.

Berarti selalu dibulatkan ke bawah ya?

Untuk batas atas, betul selama batas bawahnya 1.

Maka dengan menggunakan aturan pengurangan, banyak bilangan bulat positif dari 1 sampai 2019 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 7 adalah 673 - 96 = 577.

Protip: Untuk menghitung 673 – 96 tanpa meminjam, 673 – 96 = 673 – 100 + 4. Hal serupa dapat dilakukan untuk bilangan lain yang sangat dekat dengan bilangan yang mudah dijumlah atau dikurangkan, seperti 27356 + 1998 = 27356 + 2000 – 2 = 29354.

Aturan pembagian

Untuk menghitung banyak sapi di sebuah padang rumput, hitung dulu banyak kakinya, lalu bagi dengan 4.

Aturan pembagian dipakai ketika setiap objek/susunan/komposisi/dll terhitung lebih dari sekali, namun sama banyak. Dalam lelucon-yang-tidak-begitu-lucu-kecuali-Anda-penggemar-matematika tadi, ketika kita menghitung banyak kaki sapi di padang rumput, maka setiap sapi akan terhitung tepat empat kali (dengan asumsi semua sapi normal tanpa ada yang cacat dari lahir atau diamputasi karena tertabrak mobil).

Kita akan lanjut dengan contoh soal.

Soal: Pada babak semifinal sebuah kompetisi yang diikuti sembilan orang, dewan juri akan memilih tiga orang untuk lolos ke babak final. Tentukan banyaknya dewan juri memilih ketiga finalis tersebut.

Jawab:

Siapa tokoh utama pada soal ini?

Dewan juri. Bukan sembilan orang semifinalis, bukan tiga orang finalis.

Apa yang ingin mereka lakukan?

Memilih tiga orang finalis, dari sembilan orang semifinalis yang ada.

Bagaimana cara mereka melakukannya?

Sepintas terlihat mudah:

  1. Pilih finalis pertama. Ada 9 kemungkinan.
  2. Pilih finalis kedua. Tentu saja, finalis kedua haruslah orang yang berbeda dari finalis pertama. Ada 8 kemungkinan (semua semifinalis, kecuali finalis pertama).
  3. Pilih finalis ketiga, dan harus berbeda dari finalis pertama maupun kedua. Ada 7 kemungkinan (semua semifinalis, kecuali finalis pertama dan kedua).

Maka ada 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504 kemungkinan.

Tidak semudah itu, Ferguso!

Setiap komposisi finalis, misalnya Ani, Budi, dan Caca, terhitung lebih dari sekali. Lebih tepatnya, mereka terhitung enam kali:

Finalis 1Finalis 2Finalis 3
AniBudiCaca
AniCacaBudi
BudiAniCaca
BudiCacaAni
CacaAniBudi
CacaBudiAni

Hal yang sama berlaku untuk setiap komposisi finalis. Maka hasil perhitungan barusan harus dibagi 6, sehingga banyak cara dewan juri memilih ketiga finalis adalah 504 \div 6 = 84 cara.

Demikian part 4 dari Cara Berpikir Matematika – Kaidah Pencacahan dan Peluang. Part 5 rencananya akan membahas beberapa rumus yang sering ada di bab ini dan cara penggunaannya. Rencananya, akan ada blogger tamu yang akan menulis part 5. Oh, oh, siapa dia?

2 thoughts on “Cara Berpikir Matematika – Kaidah Pencacahan dan Peluang (part 4): Aturan Pengurangan dan Aturan Pembagian

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s